الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{4})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $4$ هي المصفوفة المربعة $4 \times 4$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{4}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.5.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.9.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.10

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.10.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.10.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.12

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.12.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.12.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.13

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.13.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.13.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.14

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.14.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.14.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.15

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.15.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.15.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.16

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $5$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $- 10$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.7

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.8

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.9

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.10

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.11

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.12

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & - 10 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & - 10 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 5 \\ 1 & 0 & 2 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 5 \\ 1 & 0 & 2 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & - 10 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 5 \\ 1 & 0 & 2 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & - 10 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 5 \\ 1 & 0 & 2 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & - 10 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 5 \\ 1 & 0 & 2 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.4

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 5 \\ 1 & 0 & 2 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 2 - λ & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 2 - λ & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 2 - λ & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 2 - λ & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 2 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) ((2 - λ) (3 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.1

وسّع $(2 - λ) (3 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (2 (3 - λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.1

اضرب $2$ في $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.2

اطرح $3 λ$ من $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.3

اضرب $0$ في $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.2

أضف $6 - 5 λ + λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.3

انقُل $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 5 λ + λ^{2} + 6) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.4

أعِد ترتيب $- 5 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6) + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.1.1

أضف $(1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6)$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6) + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.1.2

أضف $(1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6)$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6)) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.2

وسّع $(1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} + 1 (- 5 λ) + 1 \cdot 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.3.1

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 1 (- 5 λ) + 1 \cdot 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.2

اضرب $- 5 λ$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 1 \cdot 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.3

اضرب $6$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.4

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.3.4.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - (λ^{2} λ) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.4.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.3.4.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{2 + 1} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.4.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ \cdot λ - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.6

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.3.6.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 (λ \cdot λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.6.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ^{2} - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.7

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} + 5 λ^{2} - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.8

اضرب $6$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.4

أضف $λ^{2}$ و $5 λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} - 6 λ) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.5

اطرح $6 λ$ من $- 5 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.6

انقُل $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 λ^{2} - 11 λ - λ^{3} + 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.7

انقُل $- 11 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 λ^{2} - λ^{3} - 11 λ + 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.8

أعِد ترتيب $6 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.6

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6) + 0 + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1.1

أضف $(1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6)$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6) + 0 + 0$

خطوة 1.5.6.1.2

أضف $(1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6)$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6) + 0$

خطوة 1.5.6.1.3

أضف $(1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6)$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6)$

خطوة 1.5.6.2

وسّع $(1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (6 λ^{2}) + 1 (- 11 λ) + 1 \cdot 6 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.1

اضرب $- λ^{3}$ في $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (6 λ^{2}) + 1 (- 11 λ) + 1 \cdot 6 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.2

اضرب $6 λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} + 1 (- 11 λ) + 1 \cdot 6 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.3

اضرب $- 11 λ$ في $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 1 \cdot 6 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.4

اضرب $6$ في $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.6

اضرب $λ$ في $λ^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.6.1

انقُل $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.6.2

اضرب $λ^{3}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.6.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.6.3

أضف $3$ و $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.8

اضرب $λ^{4}$ في $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.10

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.10.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.10.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.10.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.10.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{2 + 1} - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.10.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{3} - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.11

اضرب $- 1$ في $6$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ^{3} - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.12

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 11 λ \cdot λ - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.13

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.13.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 11 (λ \cdot λ) - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.13.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 11 λ^{2} - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.14

اضرب $- 1$ في $- 11$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - λ \cdot 6$

خطوة 1.5.6.3.15

اضرب $6$ في $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ$

خطوة 1.5.6.4

اطرح $6 λ^{3}$ من $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} + 11 λ^{2} - 6 λ$

خطوة 1.5.6.5

أضف $6 λ^{2}$ و $11 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 17 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ$

خطوة 1.5.6.6

اطرح $6 λ$ من $- 11 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 17 λ^{2} - 17 λ + 6 + λ^{4}$

خطوة 1.5.6.7

انقُل $6$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 17 λ^{2} - 17 λ + λ^{4} + 6$

خطوة 1.5.6.8

انقُل $- 17 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 17 λ^{2} + λ^{4} - 17 λ + 6$

خطوة 1.5.6.9

انقُل $17 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + λ^{4} + 17 λ^{2} - 17 λ + 6$

خطوة 1.5.6.10

أعِد ترتيب $- 7 λ^{3}$ و $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 7 λ^{3} + 17 λ^{2} - 17 λ + 6$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{4} - 7 λ^{3} + 17 λ^{2} - 17 λ + 6 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

أعِد تجميع الحدود.

$17 λ^{2} - 17 λ + λ^{4} - 7 λ^{3} + 6 = 0$

خطوة 1.7.1.2

أخرِج العامل $17 λ$ من $17 λ^{2} - 17 λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1

أخرِج العامل $17 λ$ من $17 λ^{2}$ .

$17 λ (λ) - 17 λ + λ^{4} - 7 λ^{3} + 6 = 0$

خطوة 1.7.1.2.2

أخرِج العامل $17 λ$ من $- 17 λ$ .

$17 λ (λ) + 17 λ (- 1) + λ^{4} - 7 λ^{3} + 6 = 0$

خطوة 1.7.1.2.3

أخرِج العامل $17 λ$ من $17 λ (λ) + 17 λ (- 1)$ .

$17 λ (λ - 1) + λ^{4} - 7 λ^{3} + 6 = 0$

خطوة 1.7.1.3

حلّل $λ^{4} - 7 λ^{3} + 6$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.3.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

خطوة 1.7.1.3.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

خطوة 1.7.1.3.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.3.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{4} - 7 \cdot 1^{3} + 6$

خطوة 1.7.1.3.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $4$ .

$1 - 7 \cdot 1^{3} + 6$

خطوة 1.7.1.3.3.3

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 7 \cdot 1 + 6$

خطوة 1.7.1.3.3.4

اضرب $- 7$ في $1$ .

$1 - 7 + 6$

خطوة 1.7.1.3.3.5

اطرح $7$ من $1$ .

$- 6 + 6$

خطوة 1.7.1.3.3.6

أضف $- 6$ و $6$ .

$0$

خطوة 1.7.1.3.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $λ - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{λ^{4} - 7 λ^{3} + 6}{λ - 1}$

خطوة 1.7.1.3.5

اقسِم $λ^{4} - 7 λ^{3} + 6$ على $λ - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.3.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

خطوة 1.7.1.3.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $λ^{4}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

خطوة 1.7.1.3.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$λ^{3}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

خطوة 1.7.1.3.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $λ^{4} - λ^{3}$

$λ^{3}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

خطوة 1.7.1.3.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$λ^{3}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

خطوة 1.7.1.3.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$λ^{3}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.3.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 6 λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.3.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.3.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 6 λ^{3} + 6 λ^{2}$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.3.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.3.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

خطوة 1.7.1.3.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 6 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

خطوة 1.7.1.3.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

خطوة 1.7.1.3.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 6 λ^{2} + 6 λ$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

خطوة 1.7.1.3.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

خطوة 1.7.1.3.5.16

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

خطوة 1.7.1.3.5.17

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 6 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

خطوة 1.7.1.3.5.18

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$6 λ$

$6$

خطوة 1.7.1.3.5.19

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 6 λ + 6$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$6 λ$

$6$

خطوة 1.7.1.3.5.20

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$6 λ$

$6$

$0$

خطوة 1.7.1.3.5.21

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$λ^{3} - 6 λ^{2} - 6 λ - 6$

خطوة 1.7.1.3.6

اكتب $λ^{4} - 7 λ^{3} + 6$ في صورة مجموعة من العوامل.

$17 λ (λ - 1) + (λ - 1) (λ^{3} - 6 λ^{2} - 6 λ - 6) = 0$

خطوة 1.7.1.4

أخرِج العامل $λ - 1$ من $17 λ (λ - 1) + (λ - 1) (λ^{3} - 6 λ^{2} - 6 λ - 6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.4.1

أخرِج العامل $λ - 1$ من $17 λ (λ - 1)$ .

$(λ - 1) (17 λ) + (λ - 1) (λ^{3} - 6 λ^{2} - 6 λ - 6) = 0$

خطوة 1.7.1.4.2

أخرِج العامل $λ - 1$ من $(λ - 1) (17 λ) + (λ - 1) (λ^{3} - 6 λ^{2} - 6 λ - 6)$ .

$(λ - 1) (17 λ + λ^{3} - 6 λ^{2} - 6 λ - 6) = 0$

خطوة 1.7.1.5

اطرح $6 λ$ من $17 λ$ .

$(λ - 1) (λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6) = 0$

خطوة 1.7.1.6

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.6.1

أعِد كتابة $λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.6.1.1

حلّل $λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.6.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

خطوة 1.7.1.6.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

خطوة 1.7.1.6.1.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.6.1.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.3.3

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 - 6 \cdot 1 + 11 \cdot 1 - 6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.3.4

اضرب $- 6$ في $1$ .

$1 - 6 + 11 \cdot 1 - 6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.3.5

اطرح $6$ من $1$ .

$- 5 + 11 \cdot 1 - 6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.3.6

اضرب $11$ في $1$ .

$- 5 + 11 - 6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.3.7

أضف $- 5$ و $11$ .

$6 - 6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.3.8

اطرح $6$ من $6$ .

$0$

خطوة 1.7.1.6.1.1.4

$\frac{λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6}{λ - 1}$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5

اقسِم $λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6$ على $λ - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$11 λ$

$6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $λ^{3} - λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 5 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 5 λ^{2} + 5 λ$

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$
							+	$6 λ$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$
							+	$6 λ$	-	$6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $6 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$
							+	$6 λ$	-	$6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$
							+	$6 λ$	-	$6$
							+	$6 λ$	-	$6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $6 λ - 6$

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$
							+	$6 λ$	-	$6$
							-	$6 λ$	+	$6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$
							+	$6 λ$	-	$6$
							-	$6 λ$	+	$6$
										$0$

خطوة 1.7.1.6.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$λ^{2} - 5 λ + 6$

خطوة 1.7.1.6.1.1.6

اكتب $λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(λ - 1) ((λ - 1) (λ^{2} - 5 λ + 6)) = 0$

خطوة 1.7.1.6.1.2

حلّل $λ^{2} - 5 λ + 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.6.1.2.1

حلّل $λ^{2} - 5 λ + 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.6.1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $6$ ومجموعهما $- 5$ .

$- 3, - 2$

خطوة 1.7.1.6.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(λ - 1) ((λ - 1) ((λ - 3) (λ - 2))) = 0$

خطوة 1.7.1.6.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(λ - 1) ((λ - 1) (λ - 3) (λ - 2)) = 0$

خطوة 1.7.1.6.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(λ - 1) (λ - 1) (λ - 3) (λ - 2) = 0$

خطوة 1.7.1.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.7.1

ارفع $λ - 1$ إلى القوة $1$ .

$(λ - 1) (λ - 1) (λ - 3) (λ - 2) = 0$

خطوة 1.7.1.7.2

ارفع $λ - 1$ إلى القوة $1$ .

$(λ - 1) (λ - 1) (λ - 3) (λ - 2) = 0$

خطوة 1.7.1.7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${(λ - 1)}^{1 + 1} (λ - 3) (λ - 2) = 0$

خطوة 1.7.1.7.4

أضف $1$ و $1$ .

${(λ - 1)}^{2} (λ - 3) (λ - 2) = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

$λ - 3 = 0$

$λ - 2 = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة العبارة ${(λ - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

عيّن قيمة ${(λ - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

خطوة 1.7.3.2

أوجِد قيمة $λ$ في ${(λ - 1)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.2.1

عيّن قيمة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 1 = 0$

خطوة 1.7.3.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 1$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة $λ - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة $λ - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 3 = 0$

خطوة 1.7.4.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 3$

خطوة 1.7.5

عيّن قيمة العبارة $λ - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

عيّن قيمة $λ - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 2 = 0$

خطوة 1.7.5.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 2$

خطوة 1.7.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(λ - 1)}^{2} (λ - 3) (λ - 2) = 0$ صحيحة.

$λ = 1, 3, 2$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.3

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.4

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.5

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 1 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.6

اطرح $1$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.7

اطرح $0$ من $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.8

اطرح $0$ من $- 10$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.9

اطرح $0$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.10

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.11

اطرح $1$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.12

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.13

اطرح $0$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.14

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.15

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.16

اطرح $1$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Swap $R_{3}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 1 & 2 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 10}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - 2 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4.2

بسّط $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 + 2 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + 2 x_{4} = 0$

$x_{3} - 2 x_{4} = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 x_{4} \\ x_{2} \\ 2 x_{4} \\ x_{4} \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}] + x_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}] + x_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x_{2}, x_{4} \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- 3$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.5

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.6

اضرب $- 3$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.7

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.8

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.9

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.10

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.11

اضرب $- 3$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.12

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.13

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.14

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.15

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.16

اضرب $- 3$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - 3 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 3 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $3$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 3 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 3 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 3 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - 3 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 3 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

اطرح $3$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

أضف $5$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

أضف $- 10$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.10

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.11

اطرح $3$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.12

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.14

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.15

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 - 3 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.16

اطرح $3$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & - 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3.2

بسّط $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 5 & - \frac{1}{2} \cdot - 10 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{2} & 5 & 0 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 & 1 + \frac{5}{2} \cdot 0 & - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot 1 & 5 + \frac{5}{2} \cdot 0 & 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.6.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} + 5 x_{4} = 0$

$x_{3} = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - 5 x_{4} \\ 0 \\ x_{4} \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ - 5 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ - 5 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{4} \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - 5 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $- 2$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.4

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.5

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.6

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.7

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.8

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.9

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.10

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.11

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.12

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.13

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.14

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.15

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.16

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اطرح $2$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.5

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.6

اطرح $2$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.7

أضف $5$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.8

أضف $- 10$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.9

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.10

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.11

اطرح $2$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.12

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.13

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.14

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.15

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 - 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.16

اطرح $2$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 5.3

Find the null space when $λ = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 0 & - 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3.2

بسّط $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 5 & - - 10 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 5 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.5

Swap $R_{4}$ with $R_{3}$ to put a nonzero entry at $3, 4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 5 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 10 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 10 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 10 \cdot 0 & 1 - 10 \cdot 0 & - 5 - 10 \cdot 0 & 10 - 10 \cdot 1 & 0 - 10 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.6.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} - 5 x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

خطوة 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 5 x_{3} \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

خطوة 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

خطوة 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ - 5 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$